Площади | Задачи 28-35 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классы

28. Докажите утверждение, аналогичное предыдущей теореме, но для случая, когда углы дополняют друг друга до 180◦ . 29. На сторонах треугольника построили квадраты. Докажите, что закрашенные треугольники на рисунке равновелики. 30. Из вершины параллелограмма на две его противоположные стороны опустили высоты. Найдите площадь треугольника, образованного этими высотами, если стороны параллелограмма равны a и b, а его площадь равна S. *31. Каждая диагональ пятиугольника отсекает от него треугольник единичной площади. Найдите площадь пятиугольника. 32. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки M и K так, что AM : MB = BK : KC = 1 : 2. Вершину B соединили отрезком с такой точкой O на стороне AC, чтобы площади закрашенных на рисунке треугольника и четырехугольника были равны. Найдите AO : OC. 33. Точки M и K на сторонах треугольника соединили с противоположными вершинами. Оказалось, что закрашенные на рисунке треугольник и четырехугольник равновелики. Докажите, что точки M и K делят стороны в одинаковом отношении. 34. В треугольнике ABC найдите такую точку M, чтобы площади треугольников ABM, BCM и ACM были равны. Существуют ли такие точки вне треугольника? 35. («Лемма о бумажном самолетике».) На стороне AC треугольника ABC взяли произвольную точку M. На отрезке BM взяли произвольную точку K. Докажите, что площади треугольников ABK и CBK относятся как AM : MC.