Применение площадей | Задачи 19-27 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классы

19. На диагоналях AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD взяты такие точки M и K, что BM k CD, а CK k AB. Докажите, что отрезок MK параллелен AD. 20. Четыре диагонали пятиугольника соответственно параллельны четырем его сторонам. Докажите, что пятая диагональ пятиугольника также параллельна его стороне. 21. Квадраты расположены так, как показано на рисунке. Верно ли, что пунктирный отрезок всегда параллелен стороне «центрального» квадрата? 22. На клетчатой бумаге нарисовали многоугольник, вершины которого лежат в узлах, а стороны не проходят по ее линиям. Докажите, что сумма всех горизонтальных отрезков сетки, заключенных внутри многоугольника, равна сумме всех вертикальных. 23. В треугольнике ABC взяли произвольную точку M. Прямые AM, BM и CM пересекают стороны в точках A1 , B1 и C1 . Докажите, что MA1/AA1 + MB1/BB1 + MC1/CC1 =1 24. (Формула для площади описанного многоугольника.) Многоугольник описан вокруг окружности с радиусом r. Докажите, что его площадь можно вычислять по формуле S = pr, где p –– половина периметра многоугольника. 25. Высоты треугольника равны 3, 4 и 5. Найдите радиус его вписанной окружности. 26. Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а высота, опущенная на его основание, равна 3. Найдите радиус окружности, касающейся его боковых сторон, центр которой находится на основании треугольника. 27. Докажите, что площадь треугольника можно вычислять по формуле S = Ra (p − a), где p –– половина периметра треугольника, а Ra –– радиус вневписанной...