Геометрия 9 класс (Урок№19 - Скалярное произведение в координатах. Свойства произведения векторов.)

Геометрия 9 класс (Урок№19 - Скалярное произведение в координатах. Свойства произведения векторов.) Мы узнаем, как связано скалярное произведение векторов и их координатами и свойства скалярного произведения. Научимся находить косинус угла между векторами, зная их координаты. Покажем, как связано скалярное произведение векторов с их координатами. Докажем: a ⃗∙ b ⃗ = x1x2 + у1y2 Доказательство: Выберем произвольную точку О и отложим от неё векторы (ОА) ⃗ и (ОВ) ⃗, равные данным. Для треугольника АВС запишем теорему косинусов. AB2 = OA2 + OB2 - 2OA ∙ OB ∙ cosα (1) Формула (1) выполняется и в случае коллинеарных векторов. Если векторы коллинеарны, то угол между ними равен 0° или 180°. Если α = 0°, то cosα = 1. AB2 = (OA - OB)2 = OA2 + OB2 - 2OA ∙ OB = OA2 + OB2 - 2OA ∙ OB ∙ cosα Если α = 180°, то cosα = -1 AB2 = (O A + OB)2 = OA2 + OB2 + 2OA ∙ OB = OA2 + OB2 - 2OA ∙ OB ∙ cosα Запишем равенство (1) через длины векторов a ⃗ и b ⃗. (AB) ⃗ = b ⃗- a ⃗, (OA) ⃗ = a ⃗, (OB) ⃗ = b ⃗, |b ⃗- a ⃗ |2 = |a ⃗|2 + |b ⃗|2 - 2a ⃗∙ b ⃗ Выразим из получившегося равенства скалярное произведение векторов: a ⃗∙ b ⃗ = 1/2 (|a ⃗|2 + |b ⃗|2 - |b ⃗- a ⃗|2) (2) Запишем координаты векторов и их длины: a ⃗{x1; у1}, |a ⃗|2 = x12 + y12 b ⃗{x2; у2},|b ⃗|2 = x22 + y22 b ⃗- a ⃗{x2 - x1; y2 - y1}, |b ⃗- a ⃗|2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Подставим эти выражения в правую часть равенства (2) и преобразуем получившееся выражение. a ⃗∙ b ⃗= 1/2 (x12 + y12 + x22 + y22 - (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2) a ⃗∙ b ⃗= 1/2 (x12 +...