Математический анализ №4. Правила дифференцирования сложной функции и правила произведения

Правила дифференцирования сложной функции и правила дифференцирования произведения функций — это правила, которые позволяют вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных, а также производную произведения двух функций. Правило сложной функции Производная сложной функции (функции вида f(g(x)), где f(y) и g(x) — функции) находится по формуле: (f(g(x)))′ = f′(g(x))⋅g′(x). Объяснение: сначала дифференцируют внешнюю функцию, потом внутреннюю, а после перемножают результаты. Пример: нужно вычислить производную функции f(x) = ln(x² — 1). По правилу дифференцирования сложной функции: f′(x) = (ln(x² — 1))′ = ln′(x² — 1) ⋅ (x² — 1)′ = 1/x² — 1 ⋅ 2x = 2x(x² — 1). В этом примере сначала вычислили производную логарифма, а затем — производную степенной функции (внутренности логарифма). Правило произведения Производная произведения двух функций (y = f(x) и y = g(x)) находится по формуле: (f(x)g(x))′ = f′(x)⋅g(x) + f(x)⋅g′(x). Словесная формулировка: чтобы найти производную произведения двух функций, нужно к произведению производной первой функции и второй функции прибавить произведение первой функции и производной второй функции. Важно: Порядок действий: важно не путать местами множители и их производные. Сложные функции: если один из множителей является сложной функцией, применяется ещё и цепное правило. Сокращение выражений: часто после вычисления производной результат необходимо упростить, что позволяет избежать громоздкости.