Математический анализ №3. Формулы производных через геометрию

Производная функции имеет геометрический смысл: значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Это следует из того, что касательная к графику функции в конкретной точке отражает значение производной в этой точке. Геометрический смысл производной Формула Пусть к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x = a можно провести касательную y = kx + b, которая не будет параллельна оси y. Тогда значение f&производной функции в точке x = a будет выражать угловой коэффициент касательной: k = f& Так как k = tg α, где α — угол наклона касательной, то верно равенство f&= tg α. Важно: Если угол наклона касательной с положительным направлением оси x — острый (прямая направлена вверх), то угловой коэффициент касательной — положительное число, значит, и тангенс данного угла положительный. Если угол наклона касательной с положительным направлением оси x — тупой (прямая направлена вниз), то угловой коэффициент касательной — отрицательное число, значит, и тангенс данного угла отрицательный. Примеры Знание геометрического смысла производной используется в решении задач, например: На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Нужно найти значение производной функции f(x) в точке x₀. Решение: так как по геометрическому смыслу производной f&= tg α, то нужно найти тангенс угла наклона касательной. Так как тангенс, по определению, — отношение противолежащего катета прямоугольного...