Окружность 2 | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 класс

11. Внутри окружности даны точки A и B. Впишите циркулем и линейкой прямоугольник в эту окружность так, чтобы указанные точки лежали на двух его соседних сторонах. 12. Через точку внутри окружности проводятся произвольные хорды. Найдите геометрическое место их середин. 13. В окружность вписан параллелограмм. Докажите, что он является прямоугольником. 14. Центр описанной окружности треугольника лежит на его средней линии. Найдите больший из углов треугольника. 15. Сторона равностороннего треугольника равна 1. Найдите радиус окружности, проходящей через его вершину, середину противоположной стороны и середину еще одной стороны. 16. Точка E –– середина стороны BC квадрата ABCD. Серединные перпендикуляры к отрезкам AE и EC пересекаются в точке O. Докажите, что она лежит на диагонали квадрата. Найдите BO : OD. 17. Два угла у квадратов на рисунке смежные. Продолжение диагонали одного квадрата пересекает диагональ другого в точке O. Докажите, что O –– середина отрезка AB. 18. Угол при основании равнобедренного треугольника ABC равен 30◦ . Серединный перпендикуляр к медиане CM пересекает биссектрису угла ABC в точке O. Найдите BO, если боковая сторона треугольника равна 1. 19. В трапеции ABCD основание AD в 2 раза больше BC. Точку O взяли так, что ∠ABO =∠DCO =90◦ . Докажите, что AO = DO. 20. В окружность вписана трапеция. Докажите, что она равнобокая.