Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)

Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.) На уроке мы узнаем о теореме пересечения высот треугольника. Вспомним определение: Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. AH – высота треугольника ABC. Из курса 7 класса, мы знаем, что в любом треугольнике можно провести три высоты. Теорема: высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке Дано: ∆ABC, AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника Доказать: AA1 ∩ BB1 ∩ CC1 = O Доказательство: Рассмотрим треугольник, в котором проведены высоты. Через каждую вершину треугольника AВС проведем прямую, параллельную противоположной стороне. A2B2 || AB, A2C2 || AC, B2C2 || BC ABCA2 – параллелограмм, значит AC = BA2, AB = CA2 ACBC2 – параллелограмм, значит AC = BC2, BC = AC2 CBAB2 – параллелограмм, значит BC = AB2, AB = CB2 Таким образом AB = A2C = CB2, значит C – середина отрезка A2B2. B – середина С2A2 A – середина B2C2 Следовательно CC1 ⊥ A2B2, AA1 ⊥ B2C2, BB1 ⊥ A2C2 Получаем AA1, CC1, BB1 – серединные перпендикуляры к сторонам ∆A2B2C2 значит AA1 ∩ BB1 ∩ CC1 = O. Что и требовалось доказать. Обратим внимание на формулировку теоремы: высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Для тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке именно продолжения высот.