Линейная алгебра №3. Линейные преобразования и матрицы

Линейное преобразование — это отображение между векторными пространствами, сохраняющее операции сложения и умножения на скаляр. Формально функция T: V → W линейна, если для любых векторов u, v ∈ V и скаляра α выполняются условия: - T(u + v) = T(u) + T(v) - T(αu) = αT(u) Связь с матрицами Любое линейное преобразование между конечномерными векторными пространствами можно представить в виде умножения матрицы на вектор: - Если V и W имеют размерности n и m соответственно, то T сопоставляется матрицей A размера m×n. - Для вектора x ∈ V (представленного как координатный столбец) образ T(x) = A × x. Основные свойства: - Композиция двух линейных преобразований соответствует умножению соответствующих матриц. - Обратимое линейное преобразование связано с обратимой (невырожденной) матрицей. - Линейные преобразования легко анализировать через свойства матриц: ранг, детерминант, собственные значения и др. Пример Пусть T: R² → R² задано T(x, y) = (2x + y, x − y). Тогда матрица преобразования A = [[2, 1], [1, -1]] И для вектора v = (x, y) образ будет A * v. Таким образом, изучение линейных преобразований сводится к работе с матрицами, что позволяет эффективно решать задачи в различных областях математики и прикладных наук.