Линейная алгебра №4. Произведение матриц, композиция преобразований

В линейной алгебре произведение матриц тесно связано с композицией линейных преобразований. Линейные преобразования и матрицы Любое линейное преобразование T из пространства V в W можно представить в виде умножения вектора на матрицу A. Если v — вектор из V, то T(v) = A * v. Композиция преобразований Пусть есть два линейных преобразования: - T₁: V → U с матрицей A (размер m×n) - T₂: U → W с матрицей B (размер p×m) Тогда композиция T = T₂ ∘ T₁ — преобразование из V в W, которому соответствует матрица C = B * A (размер p×n). Смысл произведения матриц Произведение матриц отражает последовательное применение преобразований: - Сначала применяется преобразование с матрицей A. - Затем применяется преобразование с матрицей B уже к результату первого. Результирующая матрица C даёт прямое преобразование от исходного к конечному пространству. Важно: - Произведение матриц не коммутативно, то есть B * A ≠ A * B, отражая порядок применения преобразований. - Размеры матриц должны подходить для умножения: число столбцов первой должно совпадать с числом строк второй. Произведение матриц — это матричное представление композиции линейных преобразований, где произведение соответствует последовательному применению преобразований.