Линейная алгебра №9. Скалярное произведение

Скалярное произведение (или внутреннее произведение) — это операция над двумя векторами одинаковой размерности, которая возвращает число (скаляр). Обозначается как a · b. Определение Для двух векторов a = (a₁, a₂, ..., aₙ) и b = (b₁, b₂, ..., bₙ) скалярное произведение определяется так: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ Свойства - Результат — скаляр (число). - Коммутативность: a · b = b · a - Дистрибутивность: a · (b + c) = a · b + a · c - Умножение на число: (k * a) · b = k (a · b), где k — число. - Скалярное произведение нулевого вектора с любым вектором равно 0. Связь с углом между векторами Скалярное произведение можно выразить через длины векторов и угол θ между ними: a · b = |a| * |b| * cos(θ) Где |a| и |b| — длины векторов, θ — угол между ними. Применение - Определение угла между векторами. - Проверка ортогональности: если a · b = 0, векторы перпендикулярны. - Используется в физике, компьютерной графике, аналитической геометрии и других областях. Скалярное произведение — базовая операция для векторов, возвращающая число, показывающее, насколько два вектора "направлены" друг относительно друга.