Неравенство треугольника | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачах 7-8

11. Докажите неравенство ломаной. 12. Три стороны четырехугольника последовательно равны 1, 5 и 2. Какие значения может принимать длина его четвертой стороны, если известно, что она является целым числом? 13. На сторонах многоугольника взяли две точки. Докажите, что соединяющий их отрезок меньше половины его периметра. Останется ли верным утверждение задачи, если соединить две любые точки внутри многоугольника? 14. Докажите, что сумма диагоналей любого четырехугольника меньше его периметра. 15. В четырехугольнике ABCD угол D прямой. Докажите, что CD AB + BC. 16. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, а угол между ними равен 45°. Докажите, что основание треугольника больше 1/2. 17. (Неравенство медианы.) Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы двух его сторон, выходящих из той же вершины. 18. Докажите, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, меньше полусуммы его диагоналей. 19. (Неравенство «резинки».) В треугольнике ABC взята произвольная точка О. Докажите, что АВ + В О АО + ОС. 20. В треугольнике ABC взята произвольная точка О. Докажите, что АО + ВО + СО меньше периметра треугольника.