Линейная алгебра №16. Абстрактные векторные пространства

Абстрактное векторное (линейное) пространство — это математическая структура, которая представляет собой набор элементов (векторов), для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число (скаляр). При этом вектор как элемент пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Определение Множество V называется векторным пространством над полем F, если: Каждым двум элементам x, y ∈ V поставлен в соответствие элемент z ∈ V, называемый суммой элементов x и y. Каждому элементу x ∈ V и каждому элементу λ ∈ F поставлен в соответствие элемент λx ∈ V, называемый произведением элемента λ на элемент x. Эти операции (линейные операции) удовлетворяют определённым требованиям (аксиомам). Например, коммутативность сложения, ассоциативность, существование нулевого вектора и противоположного вектора для каждого вектора. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Свойства Некоторые аксиомы, которым должно удовлетворять векторное пространство: Коммутативность и ассоциативность сложения. Например, для любых двух векторов u и v, u + v = v + u и (u + v) + w = u + (v + w) для любого вектора w. Существование нулевого вектора — для любого вектора v выполняется v + 0 = v. Для каждого вектора v существует противоположный вектор — обозначаемый как -v, такой что v + (-v) = 0. Операция умножения векторов на скаляры должна удовлетворять определённым свойствам, таким как дистрибутивность по сложению...