Линейная алгебра №13. Смена базиса

Смена базиса (переход от одного базиса к другому) в линейной алгебре — это преобразование координат векторов при переходе к другому базису. Это возникает, когда в линейном пространстве заданы два базиса: старый и новый. При изменении базиса изменяются и координаты вектора, и возникает задача преобразования координат. Определение Базисом линейного пространства называют упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия: Система векторов линейно независима. Любой вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы. При смене базиса возникает задача связать координаты одного и того же вектора в разных базисах. Формула Координаты вектора x в базисах старого и нового базисов связаны соотношением: Пусть Xe — матрица-столбец координат вектора x в базисе старого базиса, Xf — матрица-столбец координат вектора x в базисе нового базиса. Тогда координаты вектора x в базисах связаны соотношением Xe = Te→f · Xf. Свойства формулы: Если T — матрица перехода от базиса старого к базису нового, то обратная матрица T−1 — матрица перехода от базиса нового к базису старого. Матрица Матрица перехода (также называется матрицей перехода) — это квадратная матрица, где по столбцам записаны координаты нового базиса в старом базисе. Особенности матрицы перехода: В каждом столбце матрицы записаны координаты соответствующего вектора нового базиса в старом базисе. Строка векторов нового базиса получается из строки векторов...