Поступление в школу 444 с репетитором

Школа №444 — это ещё одно сильное образовательное учреждение Москвы в плане математической подготовки школьников. Я готовлю учеников к вступительным экзаменам в эту школу на протяжении многих лет, а с некоторыми провожу занятия и после их поступления: готовлю к олимпиадам и помогаю по школьной программе, поскольку она сложная. Сегодня я рассказываю решение одной забавной задачи из вступительного экзамена по математике в 8 класс школы 444, который состоялся в 2025 году. -------------------------------------------------- В каждой клетке доски 5×5 сидит жук. По свистку каждый из жуков переползает в одну из соседних по диагонали клеток. При этом в некоторых клетках может оказаться больше одного жука, а некоторые клетки окажутся незанятыми. Докажите, что при этом незанятых клеток будет не меньше 5. --------------------------------------------------