№ 55. ЕГЭ. Задание 8. Стереометрия. Пирамида.

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен корню из четырнадцати. Найти сторону основания пирамиды. Если пирамида четырёхугольная и правильная, значит в основании лежит квадрат. Из центра квадрата поднимается высота к вершине пирамиды. А вершина соединяется с основанием четырьмя рёбрами. Какие числа нам известны? Длина бокового ребра равна двадцати двум. А тангенс какого-то угла равен корню из четырнадцати. Где этот угол? Этот угол находится в прямоугольном треугольнике. Значит, его тангенс равен отношению катетов. Пожалуй, пора сторону квадрата обозначить за икс, а все остальные длины выражать через икс. Как, например, выразить высоту пирамиды? Рассчитаем высоту с помощью этого треугольника. Его гипотенуза известна. Теорема Пифагора в нашем полном распоряжении. Впрочем, начать лучше с тангенса. Катет треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс угла. Подставим значение тангенса и выражение для катета. Для удобства возведём обе части в квадрат. Перемножим четырнадцать и ноль двадцать пять. Да так и оставим. В этой задаче куда ни глянь, везде теорема Пифагора. Поэтому от квадратов избавляться не будем, так удобнее. Теперь займёмся диагональю основания. Всё по той же теореме Пифагора её квадрат равен два икс квадрат. Заметим, что нас интересует не вся диагональ, а только половина. Посчитаем её квадрат и упростим. Теперь найдем высоту пирамиды с помощью теоремы Пифагора. Подставим...