Вписанные и описанные окружности. Геометрия 9 класс. Ключевая задача № 3.

Дан треугольник со сторонами a,b,c и высотой h. Найти радиус описанной окружности R. Решение. Построим центр описанной окружности: он лежит на пересечении серединных перпендикуляров. ОА=R. В треугольнике АВС угол В опирается на дугу АС. Угол В - вписанный. В треугольнике АОС на ту же дугу АС опирается центральный угол АОС. Тогда угол В равен половине угла АОС. Тогда прямоугольные треугольники АВК и АОН подобны по острому углу. Из подобия записываем следующие соотношения: радиус так относится к половине стороны в, как сторона с относится к высоте h. Отсюда выражаем радиус R. Он равен произведению сторон в и с, деленному на удвоенную высоту. Теперь давайте выразим радиус через три стороны и площадь треугольника. Площадь равна половине произведения а на h. Отсюда высота равна удвоенной площади деленной на а. Подставив значение h в найденную ранее формулу, получим, что радиус описанной окружности равен произведению трех сторон треугольника, деленному на его учетверенную площадь.