Окружность 2 | Задачи 31-38 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 класс

31. В треугольнике ABC провели высоты AM и CK, которые пересеклись в точке H. Точки O и E –– середины отрезков AC и BH. Докажите, что прямые OE и MK перпендикулярны. 32. В треугольнике ABC взяли такую точку M, что у треугольников ABM, CBM и ACM равны радиусы описанных окружностей. Докажите, что M –– точка пересечения высот треугольника. 33. В окружность вписан квадрат ABCD. Через середины его сторон BC и CD провели хорду KE. Докажите, что треугольник AKE равносторонний. 34. В окружности провели две перпендикулярные хорды AB и CD. Докажите, что расстояние от центра окружности до хорды AD в два раза меньше хорды CB. 35. Окружность с центром O проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и вторично пересекает его катеты в точках M и K. Найдите расстояние от точки O до гипотенузы, если MK =12. *36. Через точку пересечения двух окружностей проводят произвольную прямую, которая вторично пересекает эти окружности в точках A и B. Найдите геометрическое место середин отрезков AB. *37. Из середины каждой стороны вписанного четырехугольника на его противоположную сторону опущен перпендикуляр. Докажите, что четыре таких перпендикуляра пересекаются в одной точке. *38. На стороны AC и BC треугольника ABC из середины его третьей стороны AB опустили перпендикуляры. Основаниями этих перпендикуляров являются точки M и K соответственно. Вокруг треугольников ACK и BCM описали окружности. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если AB=1.