Линейная алгебра №15. Быстрый способ найти собственные значения

Для симметричной матрицы Использовать методы, основанные на преобразовании подобия. Например, метод Крылова, метод вращений, метод Данилевского. Эти методы позволяют привести исходную матрицу к более простой структуре, что упрощает вычисление собственных значений. Применить разложение Холецкого. Оно применимо только к симметричным положительно определённым матрицам и позволяет заменить обращение матриц или громоздкие разложения на более быстрые и устойчивые вычисления, используя треугольную структуру. Учесть, что все собственные значения действительной симметричной матрицы — вещественные числа. Если есть повторяющаяся строка или столбец или линейная зависимость между столбцами или строками, то определитель матрицы равен нулю, и собственное значение равно нулю. Для треугольной матрицы Вычислять собственные значения прямо. Поскольку определитель треугольной матрицы — произведение её диагональных элементов, то собственные значения — это диагональные элементы. Использовать оптимизированные алгоритмы для треугольных матриц, например, в библиотеках NumPy и SciPy. Например, для верхнетреугольных матриц можно вызывать функцию numpy.linalg.eig напрямую, что избегает накладных расходов на решения для каждого собственного значения. Важно: «треугольная» не означает «диагонализуемая» — пример [[1, 1], [0, 1]] показывает, что диагонализация может быть невозможна, даже когда собственные значения легко читаются с диагонали. Для матрицы с малым числом элементов Использовать...