Геометрия 9 класс (Урок№15 - Теорема синусов.)

Геометрия 9 класс (Урок№15 - Теорема синусов.) Мы выяснили, что в прямоугольном треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла величина постоянная. Докажем это утверждение для произвольного треугольника и научимся применять его для вычисления неизвестных элементов треугольника. Докажем, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Выразим площадь треугольника ABC через стороны и синусы углов. S = 1/2 b c sinA, (1) S = 1/2 a с sin B. (2) S = 1/2 a b sin C. (3) Приравняем первое и второе равенства: 1/2 b c sinA = 1/2 a c sin B Умножим обе части получившего равенства на два и разделим на с: 1/2 b c sinA = 1/2 a c sinB | ∙2 b c sinA = a c sinB | :c b sinA = a sinB Из полученного равенства составим пропорцию – равенство отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов: b/sinB = a/sinA Приравняем второе и третье равенства и проведём аналогичные преобразования: 1/2 a c sinB = 1/2 a b sinC | ∙2 a c sinB = a b sinC | :a c sinB = b sinC c/sinC = b/sinB (5) Из четвёртого и пятого равенств получаем, что отношения длины стороны к синусу противолежащего угла равны: c/sinC = b/sinB = a/sinA Около треугольника опишем окружность и выясним, как связаны отношения стороны к синусу противолежащего угла с радиусом описанной окружности. Центр окружности, описанной около треугольника может быть расположен на стороне треугольника, внутри треугольника и вне треугольника. Если центр описанной окружности расположен на стороне треугольника, то этот...